توسیع توابع محدب

در این رساله مفهوم تابع ‎$eta$-‎محدب به عنوان تعمیم تابع محدب ارائه و به صورت پایه ای خواص آن مورد بررسی قرار می گیرد. با ارائه مثال هایی از توابع ‎$eta$-‎محدب نشان داده می شود که هر تابع محدب خود یک تابع ‎$eta$-‎محدب است و در مقابل توابع ‎$eta$-‎محدبی وجود دارند که محدب نیستند. شاخص بندی توابع ‎$eta$-‎محدب و یافتن شرایطی برای تابع که معادل با ‎$eta$-‎محدب بودن تابع باشد از دیگر موضوعاتی است که در این رساله مورد تحقیق قرار گرفته است. نشان داده می شود که تحت شرایط خاص برای تابع ‎$eta$‎ یک تابع ‎$eta$-‎محدب بطور مطلق پیوسته و در نتیجه پیوسته است. بررسی دو نامساوی معروف هرمیت-هادامارد و نامساوی ینسن وابسته به توابع ‎$eta$-‎محدب از دیگر موارد انجام شده در این رساله است .‎ به عنوان تعمیم هایی از توابع ‎$eta$-‎محدب، دو مفهوم تابع ‎$eta_b$-‎محدب و تابع ‎$eta_e$-‎محدب را معرفی کرده و به بررسی خواص آنها می پردازیم. نشان می دهیم با فرض مشتق پذیر بودن یک تابع ‎$eta$-‎محدب، نامساوی های مختلفی را می توان بدست می آورد که معروفترین نامساوی از این دست نامساوی اسلاتر مخصوص توابع ‎$eta$-‎محدب است. ‎ به عنوان تعمیمی از نامساوی هرمیت-هادامارد به معرفی و اثبات نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب پرداخته می شود و چند نتیجه جالب از این قضیه بیان می شود‎.‎ مسئله تخمین تفاضل بین بخش میانی با بخش راست نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب و مسئله تخمین تفاضل بین بخش های میانی و چپ نامساوی هرمیت-هادامارد-فجر مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب از مهمترین بخشهای این رساله است. ‎ اثبات نامساوی هایی از نوع نامساوی های فجر که شامل انتگرال گیری وزنی هستند و همچنین بیان و اثبات نامساوی های ذوزنقه ای و نقطه میانی که در بردارنده نتایج جالبی مربوط به توابع ‎$eta$-‎محدب مشتق پذیر است در این رساله انجام شده است‎.‎ در نهایت طرح مسئله برنامه ریزی مختص توابع ‎$eta$-‎محدب و ارائه چند نتیجه و قضیه تعمیم یافته در این زمینه، پایان بخش مطالب ارائه شده در این رساله در مورد توابع ‎$eta$-‎محدب خواهد بود‎.